Jumat, 09 Desember 2011

BAHAN AJAR PROG. LINEAR


LKS
Program Linear
Mengingat kembali
Setiap perusahaan pasti mengharapkan keuntungan yang sebesar-besarnya dengan biaya sekecil-kecilnya sambil memenuhi batasan permintaan dan penggunaan bahan mentah.
Masalah tersebut dapat diselesaikan dengan program linear sebagai sebuah alat pengambil keputusan, baik dari sudut pandang formulasi maupun pemecahan. Program linear adalah sebuah alat deterministic yang berarti bahwa semua parameter model diasumsikan diketahui dengan pasti. Tetapi dalam kehidupan nyata, jarang seseorang menghadapi masalah dengan kepastian yang sesungguhnya.
Pada bab ini akan dibahas tentang system pertidaksamaan linear, merumuskan masalah nyata ke dalam model matematika, menyelesaikan dan menafsirkan hasil yang diperoleh.

A.  Kedudukan Titik-titik sebagai Daerah Penyeleseian Pertidaksamaan Linear pada
1. Bidang Cartesius
Persamaan linear ax + by = c, dengan x dan y adalah variable dan a, b, c konstanta, merupakan sebuah garis lurus yang membagi bidang Cartesius menjadi tiga bagian. Kedudukan titik-titik yang dimaksud adalah:
  1. kedudukan titik-titik yang memenuhi   
             persamaan ax + by = c
  1. kedudukan titik-titik yang memenuhi
            pertidaksamaan  ax + by < c
  1. kedudukan titik-titik yang memenuhi
            pertidaksamaan ax + by > c
dengan
  1. grafik ax + by = c merupakan garis lurus yang berfungsi sebagai garis pembatas, dan
  2. kedudukan titik-titik yang memenuhi ax + by < c atau ax + by > c merupakan suatu daerah.

  1. Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel
Kalimat matematika terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan dan mengandung satu variable x atau y berpangkat satu disebut pertidaksamaan linear dengan satu variable. Berikut ini diberikan contoh-contoh menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dengan satu variable.

Contoh 2.1
Tentukan daerah penyelasaian dari x > 0.

Jawab:
Perhatikan grafik yang ditunjukkan gambar 2.3.
Pada gambar 2.3, daerah di sebelah kiri garis x = 0 adalah daerah yang kurang dari nol (daerah negatif) dan daerah di sebelah kanan garis x = 0 adalah daerah yang nilainya lebih dari nol (daerah positif). Garis x = 0 dilukis putus-putus untuk menunjukkan bahwa kedudukan titik-titik di garis x = 0 bukan bagian dari daerah penyelesaian untuk x > 0. Karena yang diraster adalah daerah sebelah kanan x = 0.

Contoh 2.2
Tentukan daerah penyelesaian dari x = 4.

Jawab:
Perhatikan grafik yang ditunjukkan gambar 2.4.
Pada grafik yang ditunjukkan gambar 2.4, daerah di sebelah kiri garis x = 4 menunjukkan daerah penyelesaian dari , dan garis x = 4 dilukis tidak putus-putus untuk menunjukkan bahwa titik-titik yang terletak pada garis x = 4 termasuk daerah penyelesaiannya.


Contoh 2.3
Tentukan daerah penyelesaian dari .

Jawab:
Perhatikan grafik yang ditunjukkan gambar 2.5
Dari grafik tersebut semua titik di atas garis y = -5 menunjukkan daerah penyelesaiannya. Dan garis y = -5 dilukis tidak putus-putus untuk menunjukkan bahwa titik-titik yang terletak di garis tersebut termasuk daerah penyelesaiannya.

Contoh 2.4
Tentukan daerah penyelesaian dari y < 1.

Jawab:
Semua titik-titik di bawah garis y = 1 pada grafik yang ditunjukkan ganbar 2.6 merupakan daerah penyelesaian dari y < 1, dan garis y = 1 dilukis putus-putus menunjukkan bahwa titik-titik pada garis y = 1 tidak termasuk dalam daerah penyelesaiannya.

Materi
  1. Pertidaksamaan Linear dengan Dua Variabe
Kalimat matematika terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan dan mengandung dua variable x dan y berpangkat satu, seperti :  dan sejenisnya disebut pertidaksamaan linear dengan dua variable.
Daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua peubah  dapat dilakukan dengan metode grafik dan uji titik sebagai berikut.
  1. buat grafik garis ax + by = c pada bidang cartesius dengan menentukan titik-titik potong garis dengan sumbu X dan sumbu Y, kemudian tarik garis lurus antara kedua titik tersebut sehingga membagi bidang cartesius menjadi dua belahan bidang.
  2. Ambil titik sebarang (x1,y2) yang terletak diluar garis, kemudian hitung nilai  dan bandingkan dengan nilai c.
1.                   jika pertidaksamaan tersebut bernilai benar, maka himpunan penyelesaian
            adalah daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c
2.                   jika pertidaksamaan tersebut bernilai salah, maka himpunan penyelesaian
           adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c
  1. tetapkan daerah yang diraster sebagai daerah himpunan penyelesaian

contoh 2.5
x
y
0
4
4
0
Lukislah himpunan penyelesaian x + y < 4 pada bidang cartesius!

Jawab:
    1. lukis garis x + y = 4, dengan menentukan titik potong dengan sumbu X dan Y



kemudian hubungkan kedua titik (0,4) dan (4,0)
    1. untuk menentukan himpunan penyelesaian yang memenuhi x + y < 4, pada grafik dapat diselidiki beberapa titik di bawah garis x + y = 4 dan di atas garis x + y = 4. perhatikan table 2.1 dan 2.2
x
y
x + y
x + y < 4
0
1
0
-2
0
1
-3
0
0
3
2
-1
-2
5
0
1
3
0
-1
-1
2
Memenuhi
Memenuhi
Memenuhi
Memenuhi
Memenuhi
Memenuhi
Memenuhi

x
y
x + y
x + y < 4
5
4
2
0
-1
-2
0
3
4
6
9
7
5
7
6
6
8
5
Tidak Memenuhi
Tidak Memenuhi
Tidak Memenuhi
Tidak Memenuhi
Tidak Memenuhi
Tidak Memenuhi


Dari table 2.1 dan 2.2, dapat diketahui bahwa titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan x + y < 4 adalah titik-titik yang berada di bawah garis x + y = 4. Daerah yang diraster pada gambar 2.8 merupakan daerah penyelesaian x + y < 4. Garis x + y = 4 dilukis putus-putus untuk menunjukkan bahwa titik-titik yang terletak pada garis tersebut bukan bagian dari penyelesaiannya.

Contoh 2.6
Gambarlah daerah penyelesaian dari

Jawab:
  1. lukis garis 3x = y – 6, dengan menentukan titik potong dengan sumbu X dan Y. kemudian hubungkan kedua titik (0.6) dan (-2,0)
  2. sekarang, selidiki salah satu koordinat di sebelah kiri dan kanan garis. Misalnya diambil koordinat (-3,1), yang letaknya di sebelah kiri garis lalu disubstitusikan ke pertidaksamaan
 memenuhi
Diambil juga pasangan titik (0,0) yang terletak disebelah kanan garis
Dari penyelidikan tersebut, maka daerah yang memenuhi pertidaksamaan  adalah daerah di sebelah kiri garis yang ditunjukkan gambar 2.10

  1. Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan Linear dengan Dua Variabel
Gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua peubah disebut system pertidaksamaan linear dengan dua peubah.
Materi yang telah dipelajari sebelumnya akan sangat membantu untuk menentukan daerah penyelesaian dari system pertidaksamaan linear yang akan dibahas berikut.

Contoh 2.7
Gambarlah daerah penyelesaian untuk system pertidaksamaan:
Jawab:
Untuk mendapatkan daerah penyelesaian system pertidaksamaan diatas, perhatikan langkah-langkah berikut.
  1. gambarlah garis y – 2x = 5 dan rasterlah daerah y – 2x < 5
  2. gambarlah garis 1 + 2x = y dan rasterlah daerah
penyelesaiannya adalah daerah di antara kedua garis (daerah irisan kedua himpunan penyelesaian dari perridaksamaan tersebut), seperti terlihat dengan daerah yang diraster pada gambar 2.11.



contoh 2.8
gambarlah daerah penyelesaian yang memenuhi system pertidaksamaan:
Jawab:
Untuk mendapatkan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas, perhatikan langkah-langkah berikut.
    1. gambarlah garis 3x + y = 12 dan rasterlah daerah
    2. gambarlah garis x + 3y = 12 dan rasterlah daerah
    3. syarat  menunjukkan bahwa daerah yang dimaksud terletak di kuadran I (x dan y positif). Penyelesaiannya adalah daerah yang memenuhi keempat syarat tersebut (merupakan daerah irisan dari penyelesaian keempat pertidaksamaan tersebut) seperti terlihat dengan daerah yang diraster pada gambar 2.12

contoh 2.9
gambarlah daerah penyelesaian dari system pertidaksamaan:
Jawab:
Untuk mendapatkan daerah penyelesaian system pertidaksamaan di atas, perhatikan langkah-langkah berikut
  1. gambarlah garis y – 2x = 5 dan rasterlah daerah y – 2x > 5
  2. gambarlah garis 1 + 2x = y dan rasterlah daerah
perhatikan grafiknya yang ditunjukkan gambar 2.13
pada grafik yang ditunjukkan gambar 2.13, daerah yang diraster tidak memiliki irisan, ini menunjukkan bahwa system pertidaksamaannya tidak memiliki penyelesaian.




Kadang-kadang daerah himpunan penyelesaian system pertidaksamaan linear dua peubah diketahui dan akan ditentukan system pertidaksamaan tersebut.
Langkah-langkah menentukan system pertidaksamaan linear jika daerah himpunan penyelesaian diketahui adalah sebagai berikut
1.      menentukan persamaan garis dari gambar
b.      jika melalui sumbu-sumbu koordinat (0,a) dan (b,0), maka gunakan rumus ax + by = a.b
c.       jika melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2), maka gunakan rumus
1.      gunakan titik uji untuk menentukan tanda pertidaksamaan

contoh 2.10
daerah yang diraster pada gambar 2.14 merupakan himpunan penyelesaian suatu system pertidaksamaan linear. Tentukan system pertidaksamaan tersebut!

Jawab:
  1. persamaan garis melalui (0,4) dan (8,4) adalah y = 4, daerah terraster di bawah garis y = 4, memenuhi
  2. persamaan garis melalui (3,0) dan (0,4) adalah 4x + 3y = 12, daerah terraster sebelah kanan garis 4x + 3y = 12, memenuhi
  3. persamaan garis melalui (0,0) dan (8,4) adalah x -2y = ), daerah terraster di atas garis x -2y = 0, memenuhi
jadi, daerah yang diraster tersebut merupakan himpunan penyelesaian himpunan penyelesaian system pertidaksamaan

Uji Kompetensi 2.1

1.      Tentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut!EQ
  1. Tentukan daerah himpunan penyelesaian system pertidaksamaan linear berikut!

  1. Tentukan daerah himpunan penyelesaian system pertidaksamaan linear berikut!

  1. Tunjukan bahwa daerah himpunan penyelesaian system pertidaksamaan linear  untuk  berbentuk trapezium siku-siku!
  2. Tentukan system pertidaksamaan linear yang himpunan penyelesaianya adalah daerah yang diraster pada gambar berikut!



  1. Menentukan Titik Ekstrem dan Nilai Optimum Fungsi Objektif
    1. Program Linear
Pada awal bab ini telah dibahas pengertian dari program linear, kemudian dapat diuraikan bahwa program linear merupakan bagian dari matematika yang berbentuk model yang terdiri dari persamaan atau pertidaksamaan linear sebagai salah satu metode untuk memecahkan berbagai persoalan dalam kehidupan sehari-hari. Secara umum program linear terdiri dari dua bagian, yaitu fungsi objektif (fungsi tujuan) dan fungsi kendala.

  1. Fungsi Objektif (fungsi tujuan)
Fungsi objektif adalah fungsi yang nilainya akan dioptimalkan. Fungsi objektif bisa bernilai maksimum atau minimum. Hal ini tergantung pada kasusnya. Jika fungsi objektif biaya produksi, maka nilainya dicari yang minimum. Tetapi kalau fungsi objektif berupa keuntungan, maka nilainya dicari yang maksimum. Bentuk umum fungsi tujuan adalah maksimum/minimum
  1. Fungsi Kendala
Fungsi kendala adalah batasan-batasan yang harus dipenuhi oleh peubah yang terdapat dalam fungsi objektif. Bentuk umum dari fungsi kendala adalah:
Gambar daerah irisan dari sejumlah berhingga penyelesaian system petidaksamaan pada fungsi kendala akan berbentuk segi banyak (poligonal).
Titik P disebut titik ekstrem dari segi banyak (poligonal), jika titik P adalah titik potong garis yang membatasi segi banyak (polygonal) tersebut.

    1. Nilai Optimum Fungsi Objektif
Nilai optimum fungsi objektif adalah nilai maksimum/minimum fungsi objektif sebagai hasil dari substitusi titik-titik ekstrem terhadap fungsi linear  memenuhi syarat-syarat
Nilai optimum fungsi objektif ditentukan dengan metode grafik.



Langkah-langkah yang ditempuh dalam metode grafik adalah sebagai berikut.
    1. menggambarkan daerah himpunan penyelesaian dari fungsi kendala pada bidang Cortesius.
    2. Menentukan titik-titik ekstrem (titik-titik sudut) dari daerah himpunan penyelesaianya. Dari titik-titik ekstrem tersebut, didapatkan nilai optimum fungsi objektifnya.
Menyelidiki nilai optimum dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu metode titik ukstrem (titik sudut) dan metode garis selidik.
  1. Metode Titik Ekstrem
Metode ini dilakukan dengan menghitung nilai fungsi objektif  di setiap titik ekstrem (titik sudut) dari daerah himpunan penyelesaian. Kemudian bandingkan antara satu nilai dengan nilai lainya. Dengan demikian, dapat ditentukan suatu titik sehingga fungsi objektif maksimum atau minimum. Agar lebih jelas perhatikan contoh 2.11.

Contoh 2.11
Carilah nilai maksimum dan minimum dari fungsi  dengan daerah kendala

Jawab:
Selesaikan model di atas dengan langkah-langkah berikut.
  1. gambarkan daerah himpunan penyelesaiannya pada bidang cartesius, diperoleh daerah yang dirster pada gambar 2.15
  2. tentukan titik ekstrem. Dari gambar 2.15 diperoleh 3 titik ekstrem, yaitu titik A, B dan C. A adalah titik potong garis x = 2 dan x + 2y = 4, B adalah titik potong garis y = 1 dan x + y = 4 dan C adalah titik potong garis x = 2 dan x + y = 4, sehingga diperoleh titik A (2,1), B (3,1) dan C (2,2)
  3. hitung nilai  pada masing-masing titik ekstremnya dan diperoleh
dari penyelidikan tersebut, maka nilai optimum untuk fungsi  pada batasan tersebut adalah:

  1. nilai maksimum = 10 yang dicapai pada titik C (2,2)
  2. nilai minimum = 7 yang dicapai pada titik A (2,1)
  1. metode garis selidik

selain dengan menyelidiki nilai optimum fungsi objectif pada setiap titik ekstremnya, nilai optimum fungsi objectif tersebut dapat ditentukan juga dengan menggunakan garis selidik.
Garis selidik diperoleh dari fungsi objectif. Jika fungsi objectif , maka persamaan garis selidiknya adalah px + qx = R. nilai R dapat bernilai sebarang atau R = p x q. garis selidik ini digambar pada bidang gambar yang telah ada himpunan penyelesaianya, yang merupakan garis selidik awal, kemudian diteruskan dengan menggambar garis-garis selidik lainya yang sejajar dengan garis selidik awal, yang ditunjukan gambar 2.16 dengan langkah-langkah lebih rinci sebagai berikut.
    1. gambarkan daerah penyelesaian dari batasan/kendala yang diketahui
    2. lukislah garis px + qy = pq yang memotong sumbu x di titik (q,0) dan sumbu Y di titik (0,p) sebagai garis selidik awal.
    3. buat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal px + qy = pq hingga nilai r mencapai maksimum atau minimum, dengan ketentuan sebagai berikut.
    1. Jika garis px + qy = r1(R = r1) sejajar dengan garis px + qy = pq, dan aderah himpunan penyelesaian berada di sebelah kiri garis/di bawah garis selidik, maka nilai optimum fungsi objektif (R) pada titik tersebut adalah maksimum.
    2. Jika garis px + qy = r2 (R = r2) sejajar dengan garis px + qy = pq, dan daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah kanan garis/di atas garis selidik, maka nilai optimum fungsi objectif (R) pada titik tersebut adalah minimum..


Contoh 2.12
dengan menggunakan garis selidik, tentukan nilai optimum fungsi objectif , pada batasan

jawab :
penyelesaian model di atas dengan langkah-langkah berikut
  1. Melukis daerah penyelesaian dari batasan-batasan soal tersebut
  2. Tetapkan garis selidik, yaitu garis yang bersesuaian dengan fungsi tujuan , sehingga garis selidik awal adalah 3x + 7y = 21
  3. Lukislah garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal hingga garis tersebut melalui titik ekstrem/titik sudut yang terakhir.
Bila daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah kiri garis/di bawah garis selidik, maka nilai optimum fungsi objectif pada titik tersebut adalah maksimum. Bila daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah kanan garis/di atas garis selidik,maka nilai optimum fungsi objectif pada titik tersebut adalah minimum. Daerah himpunan penyelesaian dari model di atas ditunjukan oleh gambar 2.17
Pada ganbar 2.17, garis selidik awal system adalah k1 = 3x + 7y = 21. nilai optimum fungsi objectif system tersebut terletak pada titik ekstrem yang dilalui oleh garis selidik.
Perhatikan bahwa garis selidik k2 melalui titik A (0,4), garis selidik k3 melalui titik C (4,0), garis selidik k4 melaui titik O (0,0). Karena daerah penyelesaian system terletak di sebelah kiri/bawah garis selidik k2 berarti maksimum fungsi objectif diperoleh pada titik A (0,4). Minimum fungsi objectif diperoleh pada titik O (0,0) karena daerah penyelesaian terletak di atas/kanan garis selidik k4. dengan demikian
untuk A (0,4)  (maksimum)
untuk O (0,0) (minimum)
jadi, nilai minimum fungsi objectif system adalah 0 dan nilai maksimum fungsi objectif system adalah 28

Uji Kompetensi 2.2
1.      Tentukan daerah himpunan penyelesaian dan titik ekstrem dari pertidaksamaan berikut!


     
     

2.      Tentukan nilai maksimum dan minimum dengan metode garis selidik dari program linear berikut!
     





           
3.      Daerah yang diraster pada gambar disamping adalah himpunan penyelesaian suatu program linear.
a.       tentukan model system pertidaksamaan dan titik ekstrem dari daerah di samping!
b.      Tentukan nilai minimum dari fungsi objektif













4.      Daerah yang diraster pada gambar disamping adalah himpunan penyelesaian suatu program linear.
c.       tentukan model system pertidaksamaan dan titik ekstrem dari daerah di samping!
d.      Tentukan nilai minimum dari fungsi objektif






sebaiknya anda tahu
Optimisasi Fungsi Terkendala
Optimisasi suatu fungsi dapat diperoleh dengan menerapkan konsep diferensial atau turunan. Dalam perkembanganya, metode optimisasi suatu fungsi terkendala yang biasa digunakan ada dua macam, yaitu metode klasik dan metode modern.
Optimisasi dengan metode klasik menggunakan konsep diferensial sebagai acuan utama, sedangkan pada metode optimisasi modern dititikberatkan pada memodelkan suatu permasalahan dalam model matematika (mathematical programing). Metode Langrange merupakan contoh metode optimisasi modern. Perbedaan antara program linear dengan optimisasi klasik adalah sebagai berikut.
1        program linear dapat mengatasi permasalahan dengan kendala-kendalanya dalam bentuk pertidaksamaan (), sedangkan optimisasi klasik hanya dibatasi pada kendala persamaan (=)
2        program linear dapat mengatasi jumlah kendala yang banyak, sedangkan optimisasi klasik hanya satu kendala.
3        Program linear hanya terbatas pada fungsi objektif dan kendala linear, sedangkan optimasi klasik dapat diterapkan pada fungsi objektif dan kendala baik linear maupun non linear.

D. Penerapan Program Linear
Beberapa masalah pengoptimuman yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan dengan program linear, dengan kendala-kendala atau batasan-batasan yang harus diterjemahkan ke dalam suatu system pertidaksamaan linear. Untuk menterjemahkannya digunakan model matematika, yaitu uraian secara matematika (seringkali menggunakan fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata.
Langkah-langkah menuliskan persoalan sehari-hari ke dalam model matematika adalah sebagai berikut.
1 tuliskan ketentuan-ketentuan yang ada ke dalam sebuah table
2 buatlah pemisalan untuk objek-objek yang belum diketahui dalam bentuk variable x dan y
3 buatlah system pertidaksamaan linear dari hal-hal yang sudah diketahui
4 tentukan fungsi objektif
5 selesaikan model matematika tersebut untuk mendapatkan nilai optimum dari fungsi objektif
model matematika dari persoalan tersebut adalah


Berukut diberikan contoh masalah maksimisasi dengan kendala

Contoh 2.13
Seorang penjahit pakaian mempunyai persediaan 16 m kain sutera, 15 m katun, dan 11 m wool yang akan dibuat dua model pakaian dengan perincian sebagai berikut
Model A membutuhkan 2 m sutera, 1 m wool dan 1 m katun per unit
Model B membutuhkan 1 m sutera, 2 m wool dan 3 m katun per unit
Keuntungan pakaian model A Rp 3.000 per unit dan keuntungan pakaian model B Rp 5.000 per unit
Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar didapat keuntungan yang sebesar-besarnya!

Jawab:
Permasalahan di atas dapat disajikan dalam table 2.3 berikut


Model A
Model B
Bahan tersedia
Sutera
Wool
Katun
2
1
1
1
2
3
16
11
15
Keuntungan
3.000
5.000


Misalnya:
Jumlah model A yang dibuat = x unit dan
Jumlah model B yang dibuat = y unit
Permasalahan ini merupakan maksimisasi keuntungan, yaitu


Daerah penyelesaian dari kendala permasalahan tersebut ditunjukan oleh gambar 2.18
Dari gambar 2.18 diperoleh titik ekstremnya adalah:
  • A(8,0) titik potong garis 2x + y = 16 dengan sumbu X
  • B(7,2) titik potong garis 2x + y = 16 dengan garis x + 2y = 11
  • C(3,4) titik potong garis x + 2y = 11 dengan garis x + 3y = 15
  • D(0,5) titik potong garis x + 3y = 15 dengan sumbu Y
Lakukan pengujian titik-titik ekstrem tersebut pada fungsi objektif  dan diperoleh
Dari hasil substitusi titik ekstrem tersebut diperoleh bahwa keuntungan maksimum adalah Rp 31.000 yaitu dengan membuat 7 unit model pakaian A dan 2 unit model pakaian B
            Berikut diberikan contohpermasalahan minimisasi, dengan kendala

Contoh 2.14
Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein, 24 unit karbohidrat, dan 18 unit lemak. Makanan A mengandung 4 unit protein, 12 unit karbohidrat, dan 2 unit lemak untuk setiap kg. makanan B mengandung 2 unit protein, 2 unit karbohidrat, dan 6 unit lemak untuk setiap kg. berapa jumlah masing-masing makanan harus dibeli tiap minggu agar kebutuhan terpenuhi, tetapi dengan biaya semurah-murahnya, dan bila diketahui 1 kg makanan A harganya Rp 1.700 dan 1 kg makanan B harganya Rp 800?

Jawab:
Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam table 2.4 berikut

Makanan A
Makanan B
Kebutuhan
Protein
Karbohidrat
Lemak
Biaya
4
12
2
1700
2
2
6
800
16
24
18

Misalnya :
Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x kg dan
Banyaknya makanan B yang dibeli adalah y kg
Permasalahan ini merupakan minimisasi biaya, yaitu
Minimumkan


Dengan kendala:
Daerah penyelesaian permasalahan tersebut ditunjukkan oleh gambar 2.19
Dari gambar 2.19 tersebut diperoleh titik ekstremnya,yaitu
  • A(0,12) adalah titik potong antara garis 6x + y = 12 dengan sumbu Y
  • B(1,6) adalah titik potong antara garis 2x + y = 8 dengan garis 6x + y = 12
  • C(3,2) adalah titik potong antara garis 2x + y = 8 dengan garis x + 3y = 9
  • D(9,0) adalah titik potong antara garis x + 3y = 9 dengan sumbu X
Lakukan pengujian titik-titik ekstrem tersebut pada fungsi objektif
Dari substitusi titik-titik ekstrem tersebut diperoleh biaya minimumnya adalah Rp 6.500, yaitu untuk pembelian 1 kg makanan A dan 6 kg makanan B













Tidak ada komentar:

Poskan Komentar